Las magnitudes tensoriales: Son las que caracterizan
propiedades o comportamientos físicos modelizables mediante un conjunto de
números que cambian tensorialmente al elegir otro sistema de coordenadas asociado a
un observador con diferente estado de movimiento o de orientación.De acuerdo
con el tipo de magnitud, debemos escoger leyes de transformación de las componentes físicas de
las magnitudes medidas, para poder ver si diferentes observadores hicieron la
misma medida o para saber qué medidas obtendrá un observador, conocidas las de
otro cuya orientación y estado de movimiento respecto al primero sean
conocidos.
Las magnitudes tensoriales son las que caracterizan propiedades o comportamientos físicos modelizables mediante un conjunto de números que cambian tensorialmente al elegir otro sistema de coordenadas asociado a un observador con diferente estado de movimiento (marco móvil) o de orientación.
ResponderEliminarDe acuerdo con el tipo de magnitud, debemos escoger leyes de transformación (por ej. la transformación de Lorentz) de las componentes físicas de las magnitudes medidas, para poder ver si diferentes observadores hicieron la misma medida o para saber qué medidas obtendrá un observador, conocidas las de otro cuya orientación y estado de movimiento respecto al primero sean conocidos.
Definición de tensor[editar]
ResponderEliminarHay varias maneras de definir un tensor, que resultan en enfoques equivalentes:
la manera clásica, forma usual en física de definir los tensores, en términos de objetos cuyos componentes se transforman bajo cambios de coordenadas según ciertas reglas, introduciendo la idea de transformaciones covariantes o contravariantes.
la manera usual de la matemática, que implica definir ciertos espacios vectoriales definidos a partir de un espacio vectorial dado, sin fijar cualesquiera conjuntos de coordenadas hasta que las bases se introduzcan por necesidad. Existen dos definiciones de este tipo:
La de tensores como aplicaciones multilineales, que nos obliga a usar el dual de un espacio vectorial.
La que usa una operación definida axiomáticamente llamada producto tensorial de espacios vectoriales.
Definición clásica[editar]
Los físicos e ingenieros, especialmente en tratamientos informales de los tensores, consideran que un tensor es simplemente una magnitud física multi-índice dada por un conjunto de números reales o "componentes" del tensor que se transforman de "manera adecuada". Es decir, si en un determinado sistema de referencia \scriptstyle S una magnitud tensorial está dada por un conjunto de componentes T_{\alpha'_{1},...\alpha'_{m}}^{\beta'_{1}...\beta'_{n}}\, al cambiar a un sistema de referencia diferente \scriptstyle \bar{S} tendrá componentes con valores numéricos diferentes \bar{T}_{\alpha_{1},...\alpha_{m}}^{\beta_{1}...\beta_{n}}\, siendo la relación entre las componentes de la magnitud en uno y otro sistema de referencia la siguiente:
\bar{T}_{\alpha_{1},...\alpha_{m}}^{\beta_{1}...\beta_{n}} = T_{\alpha'_{1},...\alpha'_{m}}^{\beta'_{1}...\beta'_{n}} \quad
{A^T}_{\beta'_{1}}^{\beta_{1}}...{A^T}_{\beta'_{n}}^{\beta_{n}}
A_{\alpha_{1}}^{\alpha'_{1}}...A_{\alpha_{m}}^{\alpha'_{m}}
donde en la última expresión se ha usado el convenio de sumación de Einstein y además:
A_{\alpha_{n}}^{\alpha'_{n}} es la matriz del cambio de base de coordenadas
{A^T}_{\alpha_{n}}^{\alpha'_{n}} es la matriz del cambio de base inverso, que es la matriz traspuesta de la anterior.
Las magnitudes escalares de la física en general son tensores de orden cero, y varios de los tensores físicos importantes (tensor de inercia, tensor de tensiones, etc.) son tensores de segundo orden.
Como aplicación multilineal[editar]
Dado un espacio vectorial V de dimensión n sobre un cuerpo K , recordemos que su espacio dual V^* es el conjunto de todas las aplicaciones lineales f:V \to K. \,\!. El espacio dual es un espacio vectorial de la misma dimensión que V . Nos referiremos normalmente a los elementos de V y de V^* como vectores y covectores, respectivamente.
Un tensor es una aplicación multilineal, es decir, una aplicación lineal en cada uno de sus argumentos, de la forma:
T:\underbrace{V^*\times\ldots\times V^*}_r\times\underbrace{V\times\ldots\times V}_s\to K
De este modo, un tensor T asocia cada r covectores w_1,\ldots,w_r y s vectores v_1,\ldots,v_s , un escalar
T(w_1,\ldots,w_r,v_1,\ldots,v_s).\,\!
Llamamos tipo del tensor al par (r,s) .
Usando producto tensorial de espacios vectoriales[editar]
En el enfoque más matemático del cálculo tensorial se considera un espacio vectorial V y se considera su espacio dual V*. Si \scriptstyle \{\hat{e}_1,\dots,\hat{e}_n\} es una base del espacio vectorial V y \scriptstyle \{\hat{\omega}^1,\dots,\hat{\omega}^n\} la correspondiente base dual de V*, se construye el espacio vectorial producto de r copias de V y s copias de V*, es decir, \scriptstyle V = (\otimes^r V)\otimes (\otimes^s V^*) o producto tensorial de espacios vectoriales. Un tensor es un elemento de dicho espacio vectorial:
T = T^{i_1\dots i_r}_{j_1\dots j_s}\
\hat{e}_{i_1}\otimes \dots \otimes \hat{e}_{i_r} \otimes
\hat{\omega}^{j_1}\otimes \dots \otimes \hat{\omega}^{j_s}
Las propiedades de transformación de los tensores se siguen de las propiedades de transformación de los vectores de la base de manera trivial.